บทที่ 12 สมดุล

บทที่ 12 สมดุล

ในบทนี้จะศึกษาเกี่ยวกับวัตถุที่อยู่นิ่ง หรือที่เรียกว่าอยู่ในสภาวะสมดุลสถิต (static equilibrium) ซึ่งมีความสำคัญมากในการออกแบบอาคาร สะพาน หรือโครงสร้างต่าง ๆ

เมื่อวัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลสถิตวัตถุจะไม่มีความเร่งเชิงเส้น และความเร่งเชิงมุม จากกฎของสองของนิวตันเมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่ และสมการการหมุน

= =

และ

= =

นั่นคือแรงลัพธ์และทอร์คลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุจะมีค่าเท่ากับศูนย์

ทอร์คจะขึ้นอยู่กับจุดหมุนที่เราเลือก พิจารณารูปที่ 12.1 เมื่อวัตถุสมดุลภายใต้แรงทั้งสอง ผลรวมของทอร์คเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ในนำนองเดียวกันที่จุด ถ้าระบบสมดุลผลรวมของทอร์ครอบจุด จะมีค่าเท่ากับศูนย์เช่นกัน

ทอร์ครอบจุด คือ

เวกเตอร์ตำแหน่งเขียนได้ดังนี้

รูปที่ 12.1

ดังนั้นทอร์ครอบจุด สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

อาศัยกฎการกระจาย

จัดเทอมใหม่

เทอมแรกที่ได้เป็นทอร์ครอบจุดกำเนิด ส่วนเทอมที่สองค่าในวงเล็บเป็นทอร์คที่เกิดจากแรงรวมทั้งหมด

เนื่องจากทอร์ครอบจุดกำเนิดเท่ากับศูนย์ และทอร์คที่เกิดจากแรงลัพธ์มีค่าเท่ากับศูยน์วัตถุจึงสมดุลล

ตัวอย่างที่ 12.1 โคมไฟหนัก แขวนที่จุดกึ่งกลางของเชือกซึ่งยาว ทำให้เชือกหย่นลงมา จากแนวระดับดังรูปที่ 12.2 จงหาแรงตึงเชือก

วิธีทำ มุมที่แรงตึงเชือกกระทำกับแนวระดับ คำนวณได้จาก

= =

ให้ คือระยะที่เชือกหย่อนจากแนวระดับ

คือความยาวเชือก

รูปที่ 12.2

แต่โคมไฟแขวนอยู่ที่จุดกึ่งกลางของเชือก ทำให้มุมและแรงตึงเชือกทั้งสองด้านมีค่าเท่ากัน อาศัยกฎข้อสองของนิวตันพิจารณาที่ตำแหน่งเชือกติดกับโคมไฟ

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ

ตังอย่างที่ 12.2 ไม้กระดานยาว มีมวล ที่ปลายทั้งสองด้านมีเสาค้ำอยู่ ชายคนหนึ่งมีมวล ยืนห่างจากปลายไม้กระดานทางซ้ายมือเป็นระยะ ดังรูปที่ 12.3 จงหาแรงที่เสาแต่ละต้น

วิธีทำ การเลือกจุดหมุนให้เลือกจุดที่ไม่ทราบค่า จุดใดจุดหนึ่งให้เป็นจุดหมุน เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณเนื่องจากจะทำให้ค่าทอร์คเป็นศูนย์

จากกฎการหมุน พิจารณาที่ไม้กระดาน เมื่อให้จุดที่มีแรง ผ่านเป็นจุดหมุน และกำหนดให้ทอร์คทวนเข็มนาฬิกามีค่าเป็นบวก

รูปที่ 12.3

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ

จากกฎข้อสองของนิวตัน

ตัวอย่างที่ 13.3 หนังสือมวล โดยวางเอียงกับชั้นวางหนังสือลื่น โดยวางทำมุม กับพื้นดังรูปที่ 12.4 จงหาแรงต่าง ที่กระทำต่อหนังสือแล้วทำให้หนังสือสมดุล

วิธีทำ จะไม่มีแรงเสียดทานระหว่างหนังสือกับชั้นวางเนื่องจากเป็นชั้นลื่น พิจารณาแรงต่าง ๆ ที่กระทำต่อหนังสือจะได้ว่า

= =

จากกฎข้อสองของนิวตัน และการหมุน โดยพิจารณาดังรูปที่ 12.4 พิจารณาการเลื่อนตำแหน่ง

= ……………(1)

รูปที่ 12.4 =

พิจารณาการหมุน กำหนดให้ที่พื้นเป็นจุดหมุน

แทนค่า ลงในสมการที่ (1)

ตัวอย่างที่ 13.4 ล้อจักรยานเสือภูเขารัศมี รับน้ำหนัก จงหาแรงที่น้อยที่สุดที่กระทำผ่านแกนของล้อในแนวราบ แล้วทำให้ล้อจักรยานเสือภูเขาเคลื่อนที่ผ่านขอบถนนซึ่งสูง ได้ ดังรูปที่ 12.5

วิธีทำ หาแรงที่กระทำต่อล้อจักรยานเสือภูเขา ได้แก่แรงเนื่องจากน้ำหนัก แรงในแนวราบ ซึ่งเป็นแรงเนื่องจากรถ แรงปฎิกริยา เนื่องจากขอบถนนกระทำกับล้อรถจักรยานโดยแรงนี้จะผ่านจุดศูนย์กลางของล้อรถ และแรงเสียดทาน เนื่องจากขอบถนน ส่วนแรงปฎิกริยาที่พื้นกระทำต่อล้อรถจะมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจากล้อรถยกตัวจากพื้นขณะที่จะผ่านขอบถนน มุมที่แรงปฎิกริยากระทำกับแนวราบสามารถคำนวณได้จากกฎของ

รูปที่ 12.5 =

ใช้ขอบถนนเป็นจุดหมุนเนื่องจากเราไม่ทราบแรงปฎิกริยา จากสมการการหมุน

= =

ตัวอย่างที่ 13.5 จงคำนวณหารูปร่างของสายเคเบิลที่รองรับสะพานมวล เมื่อระยะห่างระหว่างตอม่อสะพานในแนวระดับยาว ดังรูปที่ 12.6

รูปที่ 12.6 รูปที่ 12.7

วิธีทำ แรงที่กระทำต่อสายเคเบิ้ลส่วนเล็ก ๆ ประกอบด้วยแรงตึงเชือกที่กระทำต่อส่วนบนของเส้นเชือก แรงตึงเชือกที่ส่วนล่างของเส้นเชือก และน้ำหนักของถนนส่วนเล็ก ๆ ซึ่งอยู่ใต้สายเคเบิ้ลส่วนเล็ก ๆ ที่เราพิจารณาดังรูปที่ 12.7